Geerdet werden müssen alle "losen" Metallteile des Schrankes selbst. Auf dem Bild ist das nicht so gut zu erkennen, aber in der Regel sind das der Korpus, Seitenwände, Tür und, falls abnehmbar, die Rückwand.
Bei einigen Schränken (z.B. von Rittal) werden Seiten- und Rückwände teils mit Halterungen befestigt, die über eine Art Krallen selbstständig die Erdung herstellen. Hier ist unter normalen Umständen keine zusätzliche Verdrahtung nötig.
Ziel ist es, sollte es zu einem Fehler kommen, gefährliche Berührungsspannungen über den Schutzleiter abzuleiten.
Soweit die Mindestanforderung.
Die Erdung des Rahmens, an dem Du Deine Einbauten befestigst, erfolgt meist über das Gewinde der Halteschrauben. Das ist in der Regel ausreichend, da es eher unwahrscheinlich ist, dass die Schrauben des Rahmens während des Betriebs gelöst werden.
Sollten Deine technischen Einbauten separate Erdungsanschlüsse besitzen, ist es ratsam, diese ebenfalls anzuschließen.
Fachlich korrekt wird die Erdung immer Sternförmig aufgebaut. Das bedeutet, dass alle PE-Verbindungen zu einem Punkt (oder einer dafür geeigneten Schiene) geführt werden und dieser dann mit dem Haupterder des Gebäudes verbunden wird. In einer Mietwohnung wäre das dann die PE-Schiene des Sicherungskastens, da Du woanders sicher auch nicht heran kommst.
Ob eine separate Erdverbindung zwischen Schrank und Sicherungskasten hergestellt werden muss, oder ob der PE des Einspeisekabels ausreichend ist, hängt vom Einzelfall ab und ist teils umstritten. Definitiv ist es kein Fehler, eine separate zusätzliche Verbindung herzustellen. Die Erdung des Schrankes muss mindestens in der gleichen Größe dimensioniert werden, wie das Einspeisekabel. Zu empfehlen ist jedoch genau das, was blotto82 gemacht hat - 6qmm bis zum Sicherungskasten.
Das ganze gilt natürlich nicht allgemein, sondern für eine solche Standardanwendung, wie Du sie vor hast.